Menentukan Rumus Persamaan Lingkaran
Rumus-rumus persamaan bundar sanggup diperoleh dengan memakai konsep jarak antara dua titik ataupun konsep Phytagoras. Kedua cara tersebut intinya sama, sebab kita tahu bahwa konsep jarak antara dua titik diperoleh dengan memakai konsep phytagoras.
Diberikan sebuah bundar dengan sentra O(0, 0) dan titik A(x, y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran.
Jika titik A diproyeksikan ke sumbu-x dengan titik proyeksi A', maka akan terbentuk segitiga OAA'. Segitiga OAA' siku-siku di A' dengan
OA' = x
AA' = y
OA = r
Dengan memakai teorema Phytagoras pada segitiga OAA' akan diperoleh persamaan
(OA')2 + (AA')2 = (OA)2
x2 + y2 = r2
Karena A(x, y) sembarang titik pada lingkaran, maka persamaan diatas akan memenuhi setiap titik pada lingkaran. Jadi, sanggup disimpulkan bahwa persamaan bundar yang berpusat di (0, 0) dengan jari-jari r yaitu $$\mathrm{x^{2}+y^{2}=r^{2}}$$
Persamaan bundar dengan sentra O(0, 0) dan jari-jari r yaitu $$\mathrm{\mathbf{x^{2}+y^{2}=r^{2}}}$$
Bukti :Diberikan sebuah bundar dengan sentra O(0, 0) dan titik A(x, y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran.
Jika titik A diproyeksikan ke sumbu-x dengan titik proyeksi A', maka akan terbentuk segitiga OAA'. Segitiga OAA' siku-siku di A' dengan
OA' = x
AA' = y
OA = r
Dengan memakai teorema Phytagoras pada segitiga OAA' akan diperoleh persamaan
(OA')2 + (AA')2 = (OA)2
x2 + y2 = r2
Karena A(x, y) sembarang titik pada lingkaran, maka persamaan diatas akan memenuhi setiap titik pada lingkaran. Jadi, sanggup disimpulkan bahwa persamaan bundar yang berpusat di (0, 0) dengan jari-jari r yaitu $$\mathrm{x^{2}+y^{2}=r^{2}}$$
Bentuk Baku Persamaan Lingkaran
Persamaan bundar yang berpusat di P(a, b) dengan jari-jari r yaitu $$\mathrm{\mathbf{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}}$$
Bukti : Diberikan sebuah bundar dengan sentra P(a, b) dan titik A(x, y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran.
Jika titik A diproyeksikan ke garis y = b dengan titik proyeksi A', maka akan terbentuk segitiga PAA'. Segitiga PAA' siku-siku di A' dengan
PA' = x − a
AA' = y − b
PA = r
Dengan memakai teorema Phytagoras pada segitiga PAA' akan diperoleh persamaan
(PA')2 + (AA')2 = (PA)2
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
Karena A(x, y) sembarang titik pada lingkaran, maka persamaan diatas akan memenuhi setiap titik pada lingkaran. Jadi, sanggup disimpulkan bahwa persamaan bundar yang berpusat di (a, b) dengan jari-jari r yaitu $$\mathrm{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}$$
Jika titik A diproyeksikan ke garis y = b dengan titik proyeksi A', maka akan terbentuk segitiga PAA'. Segitiga PAA' siku-siku di A' dengan
PA' = x − a
AA' = y − b
PA = r
Dengan memakai teorema Phytagoras pada segitiga PAA' akan diperoleh persamaan
(PA')2 + (AA')2 = (PA)2
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
Karena A(x, y) sembarang titik pada lingkaran, maka persamaan diatas akan memenuhi setiap titik pada lingkaran. Jadi, sanggup disimpulkan bahwa persamaan bundar yang berpusat di (a, b) dengan jari-jari r yaitu $$\mathrm{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}$$
Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Lingkaran \(\mathrm{\mathbf{x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0}}\) memiliki sentra dan jari-jari $$\mathrm{\mathbf{P\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}}$$ $$\mathrm{\mathbf{r=\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}}$$
Bukti :
Bentuk umum diatas diperoleh dengan menjabarkan bentuk baku persamaan lingkaran.
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
x2 − 2ax + a2 + y2 − 2by + b2 = r2
x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0 ...(1)
Misalkan :
A = −2a ...................................................(2)
B = −2b ...................................................(3)
C = a2 + b2 − r2 .......................................(4)
maka persamaan (1) sanggup ditulis menjadi $$\mathrm{\mathbf{x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0}}$$
Dari persamaan (2)
A = −2a
⇔ a = \(\mathrm{-\frac{A}{2}}\) .................................(5)
Dari persamaan (3)
B = −2b
⇔ b = \(\mathrm{-\frac{B}{2}}\) .................................(6)
Jadi, sentra lingkaran
P(a, b) ⇔ P\(\mathrm{\mathbf{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}}\)
Substitusi persamaan (5) dan (6) ke (4)
C = a2 + b2 − r2
C = \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2} \right )^{2}}\) + \(\mathrm{\left ( -\frac{B}{2} \right )^{2}}\) − r2
r2 = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\)
Jika kedua ruas ditarik tanda akar akan diperoleh
r = \(\mathrm{\mathbf{\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}}\)
Sumber http://smatika.blogspot.com
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
x2 − 2ax + a2 + y2 − 2by + b2 = r2
x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0 ...(1)
Misalkan :
A = −2a ...................................................(2)
B = −2b ...................................................(3)
C = a2 + b2 − r2 .......................................(4)
maka persamaan (1) sanggup ditulis menjadi $$\mathrm{\mathbf{x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0}}$$
Dari persamaan (2)
A = −2a
⇔ a = \(\mathrm{-\frac{A}{2}}\) .................................(5)
Dari persamaan (3)
B = −2b
⇔ b = \(\mathrm{-\frac{B}{2}}\) .................................(6)
Jadi, sentra lingkaran
P(a, b) ⇔ P\(\mathrm{\mathbf{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}}\)
Substitusi persamaan (5) dan (6) ke (4)
C = a2 + b2 − r2
C = \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2} \right )^{2}}\) + \(\mathrm{\left ( -\frac{B}{2} \right )^{2}}\) − r2
r2 = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\)
Jika kedua ruas ditarik tanda akar akan diperoleh
r = \(\mathrm{\mathbf{\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}}\)
0 Response to "Menentukan Rumus Persamaan Lingkaran"
Posting Komentar